题目内容

已知点D（0，-2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图
（Ⅰ）求切点A的纵坐标；
（Ⅱ）若离心率为
3
2
的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．
（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且y0=
x02
2p
，
由切线l的斜率为k=
x0
p
，得l的方程为y=
x0
p
x-
x02
2p
，又点D（0，-2）在l上，
∴
x02
2p
=2，即点A的纵坐标y0=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A(-2
p
，2)，切线斜率k=-
2
p
，
设B（x1，y1），切线方程为y=kx-2，由e=
3
2
，得a2=4b2，…（7分）
所以椭圆方程为
x2
4b2
+
y2
b2
=1，且过A(-2
p
，2)，∴b2=p+4…（9分）
由
y=kx-2
x2+4y2=4b2
⇒(1+4k2)x2-16kx+16-4b2=0，∴
x0+x1=
16k
1+4k2
x0x1=
16-4b2
1+4k2
，…（11分）k1+2k2=
y0
x0
+
2y1
x1
=
x1y0+2x0y1
x0x1
=
x1(kx0-2)+2x0(kx1-2)
x0x1
=3k-
2x1+4x0
x0x1

=3k-
2(x1+x0)+2x0
x0x1
=3k-
32k
1+4k2
-4
p
16-4b2
1+4k2
=3k-
32k-4
p
(1+4k2)
16-4b2
=4k
将k=-
2
p
，b2=p+4代入得：p=32，所以b2=36，a2=144，
椭圆方程为
x2
144
+
y2
36
=1．…（15分）
练习册系列答案
相关题目
椭圆
x2
45
+
y2
20
=1的焦点分别为F1和F2，过原点O作直线与椭圆相交于A，B两点．若△ABF2的面积是20，则直线AB的方程是______．
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A（-
2
，0）、B（
2
，0），离心率e=
2
2
．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|PC|=（
2
-1）|PQ|．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点C的轨迹E的方程；
（3）设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点，且|MN|=
8
2
7
，求直线MN的方程．
已知椭圆C过点P（1，
3
2
），两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F1的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的中点的轨迹方程．
如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点(1，
2
2
)，离心率为
2
2
，左、右焦点分别为F1、F2．点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2．
（Ⅰ）证明：
1
k1
-
3
k2
=2；
（Ⅱ）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
直线L：
x
4
+
y
3
=1与椭圆E：
x2
16
+
y2
9
=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
如图，已知圆C1的方程为(x-2)2+(y-1)2=
20
3
，椭圆C2的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），C2的离心率为
2
2
，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程．
过（2，0）点且倾斜角为60°的直线与椭圆
x2
5
+
y2
3
=1相交于A，B两点，则AB中点的坐标为______．
已知点P(-1，
3
2
)是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为
5
？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．

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