Question

18．已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC=BC=4$\sqrt{3}$，AB=8，PA=4，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为88π．

Answer 1

分析 根据已知求出△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．

解答 解：在△ABC中，AC=BC=4$\sqrt{3}$，AB=8，
故cosC=$\frac{（4\sqrt{3}）^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}-{8}^{2}}{2×（4\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
故sinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故△ABC的外接圆半径r=$\frac{1}{2}•$$\frac{8}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=3$\sqrt{2}$，
故棱锥的外接球的半径R²=${r}^{2}+（\frac{PA}{2}）^{2}$=22，
故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR²=88π，
故答案为：88π．

点评 本题考查三棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键．