Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦距为2

5

，一条渐近线平分圆x²+y²-4x+2y=0，则双曲线的标准方程为

x2

4

-y2=1

．

Answer 1

分析：通过已知条件求出C，利用一条渐近线平分圆x²+y²-4x+2y=0，以及a，b，c的关系，求出a，b的值，即可得到双曲线方程．

解答：解：因为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦距为2

5

，所以2c=2

5

，
所以c=

5

，圆x²+y²-4x+2y=0的圆心坐标（2，-1），
一条渐近线平分圆x²+y²-4x+2y=0，
所以

2

a

+

-1

b

=0，
又a²+b²=5，解得a=2，b=1，
所求所求双曲线方程为：

x2

4

-y2=1．
故答案为：

x2

4

-y2=1．

点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．