Question

在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　由于三角形的形状可按角分类，亦可按边分类，所以这类问题常用正弦定理、余弦定理及三角变换公式把条件转化为边的关系或角的关系，通过代数式或三角式的恒等变形而得到结论． 　　解法一　　由正弦定理，得＝． 　　又∵2cosAsinB＝sinC，∴cosA＝＝．① 　　再由余弦定理，得cosA＝，② 　　①代入②得＝，化简得a2＝b2，即a＝b． 　　又已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，把a＝b代入a＝c．∴a＝b＝c． 　　因此△ABC为等边三角形． 　　解法二　　∵∠B＋∠A＋∠C＝， 　　∴sinC＝sin(A＋B)． 　　又2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sin(A＋B)， 　　∴sin(A－B)＝0． 　　又∵∠A与∠B均是△ABC的内角， 　　∴∠A＝∠B． 　　又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 　　得(a＋b)2－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab． 　　据余弦定理由上式可得cosC＝． 　　∴∠C＝．所以△ABC为等边三角形． 　　评析　　判定三角形的形状，一般有两种思路：一是通过三角形的边关系，另一是考虑三角形的内角关系，当然也可将边和角巧妙结合同时考虑．