Question

【题目】已知函数（，）．

（1）若在上单调递减，求的取值范围；

（2）当时，判断关于的方程的解的个数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）只有一个解.

【解析】试题分析：

（1）根据在恒成立求解即可，求解时可选用分离参数的方法．（2）由题意可得即判断方程根的个数，令，利用导数可得存在，使得 时 单调递减，当 时单调递增，又，→时，→，结合图象可得当，时，方程有一个解，即方程只有一个解．

试题解析：

（1）∵，

∴，

由题意得在恒成立，

即在恒成立，

设，

则，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，

∴．

∴实数的取值范围为．

（2）由题意得，

∴，

令，

则，

令，

则，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，

又，，

∴存在，使得 时， 单调递减；

当 时，，单调递增，

又，→时，→，

∴当，时，方程有一个解，

∴当时，方程只有一个解．