Question

【题目】已知椭圆的方程为，长轴是短轴的倍，且椭圆过点，斜率为的直线过点，坐标平面上的点满足到直线的距离为定值.

（1）写出椭圆方程；

（2）若椭圆上恰好存在个这样的点，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由长轴长和短轴长关系、椭圆上点的坐标和椭圆的关系可构造方程组求得，进而得到椭圆方程；

（2）将问题转化为与直线的距离为的两条平行线与椭圆恰有三个交点；假设平行直线方程为，与椭圆方程联立确定，由和平行直线间距离公式得到关于的方程，可求得的值；代回验证得到恰有三个交点的情况，由此得到结果.

（1）由题意可知：，解得：

椭圆方程为：

（2）由题意可知，与直线的距离为的两条平行线与椭圆恰有三个交点

直线的方程为 可设与直线平行的直线方程为：

联立方程得：

…①

当时，…②

由两平行线间的距离为，可得：…③

将②代入③得：，解得：或

⑴当时，代入②得：，代回③得：或

当，时，由①知，此时两平行线和与椭圆只有一个交点，不符合题意

⑵当时，代入②得：，代回③得：或

当，时，由①知，此时两平行线和与椭圆有三个交点