Question

（本小题共14分）

已知椭圆（a>b>0）的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，点A的坐标为（，0）．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若，求直线l的倾斜角；

(Ⅲ)若点Q在线段AB的垂直平分线上，且，求的值．

Answer 1

（本小题共14分）

解：（I）由题意可知，e，得，，解得.  -2分

所以椭圆的方程为.                                 --3分

(Ⅱ)由（I）可知点A的坐标是(2,0).设点B的坐标为，直线l的斜率为k，则直线l

的方程为.

于是A、B两点的坐标满足方程组                   --4分

消去y并整理，得.            ------5分

由，得，从而.                 

所以.          ------6分

由，得.

整理得，即，解得k=.-------7分

所以直线l的倾斜角为或.                         -- 8分

(Ⅲ)设线段AB的中点为M，由（II）得到M的坐标为.以下分两种情况：

(1)  当k0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是

，由，得.------10分

       （2）当时，线段AB的垂直平分线方程为

令，解得.                  --11分

由，，

            ，  --12分

整理得，故，所以.          ----13分

综上，或                         ----14分