Question

已知函数f（x）=-1+log_a（x+2）（a＞0，且a≠1），g（x）=．
（1）函数y=f（x）的图象恒过定点A，求A点坐标；
（2）若函数F（x）=f（x）-g（x）的图象过点（2，），证明：方程F（x）=0在x∈（1，2）上有唯一解．

Answer 1

【答案】分析：（1）由log_a1=0可得y=f（x）的图象恒过定点A的坐标；
（2）将点（2，）代入F（x）的解析式，求出a，利用根的存在性定理和函数的单调性证明即可．
解答：解：（1）由log_a1=0可得f（-1）=-1+log_a1=-1，故A（-1，-1）
（2）∵
∴a=2
∴
∵分别为（-2，+∞）上的增函数和减函数
∴F（x）为（-2，+∞）上的增函数
∴F（x）在（-2，+∞）上至多有一个零点
又（1，2）?（-2，+∞）
∴F（x）在（1，2）上至多有一个零点
而
∴F（x）=0在（1，2）上有唯一解
点评：本题考查对数函数的性质、函数图象的交点问题、根的存在性定理等知识．