题目内容
设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：
≥
．
| aA+bB+cC |
| a+b+c |
| π |
| 3 |
分析：法一、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c，由排序原理：顺序和≥乱序和，可得结论；
法二、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c，由排序不等式
≥
•
，可得结论．
法二、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c，由排序不等式
| aA+bB+cC |
| 3 |
| A+B+C |
| 3 |
| a+b+c |
| 3 |
解答：证明：法一、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c
由排序原理：顺序和≥乱序和
∴aA+bB+cC≥aB+bC+cA
aA+bB+cC≥aC+bA+cB
aA+bB+cC=aA+bB+cC
上述三式相加得3（aA+bB+cC）≥（A+B+C）（a+b+c）=π（a+b+c）
∴
≥
．
法二、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c，
由排序不等式
≥
•
，
即aA+bB+cC≥
（a+b+c），
∴
≥
．
由排序原理：顺序和≥乱序和
∴aA+bB+cC≥aB+bC+cA
aA+bB+cC≥aC+bA+cB
aA+bB+cC=aA+bB+cC
上述三式相加得3（aA+bB+cC）≥（A+B+C）（a+b+c）=π（a+b+c）
∴
| aA+bB+cC |
| a+b+c |
| π |
| 3 |
法二、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c，
由排序不等式
| aA+bB+cC |
| 3 |
| A+B+C |
| 3 |
| a+b+c |
| 3 |
即aA+bB+cC≥
| π |
| 3 |
∴
| aA+bB+cC |
| a+b+c |
| π |
| 3 |
点评：本题考查不等式的证明，考查排序原理：顺序和≥乱序和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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