Question

设0＜θ＜π，则sin

θ

2

(1+cosθ)的最大值为

4 3

9

．

Answer 1

分析：可令y=sin

θ

2

（1+cosθ）=2cos2

θ

2

•sin

θ

2

，则y²=2cos2

θ

2

•cos2

θ

2

•2sin2

θ

2

≤2•(

cos2 θ 2 +cos2 θ 2 +2sin2 θ 2

3

)3=

16

27

．开方即可．

解答：解：令y=sin

θ

2

（1+cosθ），则y=sin

θ

2

（1+cosθ）=2cos2

θ

2

•sin

θ

2

，
∴y²=2cos2

θ

2

•cos2

θ

2

•（2sin2

θ

2

）≤2•(

cos2 θ 2 +cos2 θ 2 +2sin2 θ 2

3

)3=

16

27

，
∴|y|≤

4 3

9

．
故sin

θ

2

(1+cosθ)的最大值为

4 3

9

．

点评：本题考查二倍角的余弦，难点在于解题突破口的思考：三个正数的基本不等式的应用，属于难题．