Question

如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值.

Answer 1

AP∶PM=4∶1

解析:

方法一  设e₁=,e₂=,

则=+=-3e₂-e₁，

=+=2e₁+e₂.

因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在实数、，使==-3e₂-e₁，

==2e₁+e₂，∴=-=（+2）e₁+（3+）e₂，

另外=+=2e₁+3e₂，

，∴，

∴=,=,∴AP∶PM=4∶1.

方法二  设=，

∵=（+）=+，

∴=+.

∵B、P、N三点共线，∴-=t(-),

∴=(1+t)-t

∴

∴+=1，=，∴AP∶PM=4∶1.