Question

已知函数f(x)＝－x²＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．

(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

[分析]　(1)y＝g(x)－m有零点即y＝g(x)与y＝m的图象有交点，所以可结合图象求解．(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异实根⇔y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解．

Answer 1

 (1)方法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e，

等号成立的条件是x＝e，

故g(x)的值域是[2e，＋∞)，

因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．

方法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图．

可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.

(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，

作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图．

∵f(x)＝－x²＋2ex＋m－1

＝－(x－e)²＋m－1＋e².

∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，

最大值为m－1＋e².

故当m－1＋e²>2e，即m>－e²＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

∴m的取值范围是(－e²＋2e＋1，＋∞)．