Question

如图所示是长方体截去一个角后得到的几何体，其中底面ABCD是边长为2

3

的正方形，且高BE=2，H为AG中点．
（1）求四棱锥E-ABCD的体积；
（2）正方形ABCD内（包括边界）是否存在点M，使三棱锥H-AMB体积是四棱锥E-ABCD体积的

1

8

？若存在，请指出满足要求的点M的轨迹，并在图中画出轨迹图形；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,轨迹方程

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用四棱锥体积公式，可得四棱锥E-ABCD的体积；
（2）先求出M到平面AHB的距离，再确定点M的轨迹．

解答： 解：（1）由题意，四棱锥E-ABCD的体积为

1

3

×2

3

×2

3

×2=8；
（2）∵H为AG中点，∴S_△AHB=

1

2

×2

3

×2=2

3

，
设M到平面AHB的距离为h，则
∵三棱锥H-AMB体积是四棱锥E-ABCD体积的

1

8

，
∴

1

3

×2

3

h=

1

8

×4，
∴h=

3

4

，
∴M到平面AHB的距离为

3

4

，
在AD上取点M，使得AM=

3

2

，在平面ABCD内作MN∥AB，交BC于N，则MN为所求轨迹．

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．