Question

10．有 4名男生和2名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？
（Ⅰ） 男生甲不站排头和排尾．
（Ⅱ） 两名女生必须相邻．
（Ⅲ） 甲、乙、丙三名同学两两不相邻．
（Ⅳ） 甲不站排头，乙不站排尾．

Answer 1

分析 （Ⅰ）甲不站排头也不站排尾，甲要站在除去排头和排尾的四个位置，余下的五个位置使五个元素全排列，根据分步计数原理得到结果．
（Ⅱ） 两名女生必须相邻，利用捆绑法；
（Ⅲ）甲、乙、丙不相邻，可以采用甲，乙和丙插空法，首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有A₃³种结果，再在三个元素形成的四个空中排列3个元素，共有A₄³，根据分步计数原理得到结果．
（Ⅳ） 甲不站排头，乙不站排尾．利用间接法．

解答 解：（Ⅰ）∵甲不站排头也不站排尾，
∴甲要站在除去排头和排尾的四个位置，
余下的五个位置使五个元素全排列，
根据分步计数原理知共有A₄¹A₅⁵=480种；
（Ⅱ） 两名女生必须相邻，利用捆绑法，有A₂²A₅⁵=240种；
（Ⅲ）∵甲、乙、丙不相邻，
∴可以采用甲，乙和丙插空法，
首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有A₃³种结果，
再在三个元素形成的四个空中排列3个元素，共有A₄³，
根据分步计数原理知共有A₃³A₄³=144种．
（Ⅳ） 甲不站排头，乙不站排尾．利用间接法，可得有A₆⁶-2A₅⁵+A₄⁴=504种．

点评 站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用分步计数原理得到结果．