Question

7．已知集合A={x∈R|ax²+2x+1=0，a∈R}．
（1）若A中只有一个元素，实数a的取值范围；
（2）若A中至少有一个元素，实数a的取值范围；
（3）若A中元素至多只有一个，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分a=0与a≠0两种情况讨论；
（2）分a=0与a≠0两种情况讨论；
（3）解集是空集，即方程无解，所以判别式小于零再加上（1）即可求出

解答 解：（1）当a=0时，原方程化为2x+1=0解得x=-$\frac{1}{2}$；
当a≠0时，只需△=4-4a=0，即a=1，
故所求a的值为0或1；
（2）当a=0时，原方程化为2x+1=0解得x=-$\frac{1}{2}$；
当a≠0时，只需△=4-4a≥0，即a≤1，
故所求a的取值范围为（-∞，1]；
（3）若A=Φ，则只需ax²+2x+1=0无实数解，显然a≠0，
所以只需△=4-4a＜0，即a＞1即可，
综合（1）可知，若A中元素至多只有一个，
a的值为0或a≥1．

点评 本题以集合为载体，考查了一元二次方程的解得个数的判断问题，要注意对最高次数项是否为零的讨论．