Question

（08年安徽信息交流） （本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA。

（1）求异面直线PA与CD所成的角；

（2）求证：PC∥平面EBD；

（3）求二面角A－BE－D的大小。

Answer 1

解析:解法一：                             

（1）由PB⊥面ABCD，CD⊥PD知CD⊥BD

在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB=AD=3,

∴BD=，BC=6

取BC的中点F，连结AF，则AF∥CD，

∴PA与CD所成的角就是∠PAF   

连PF由题设易知AF=PF=PA=,

∴∠PAF=60°即为所求     

（2）连AC交BD于G，连EG，易知,

又∴，∴PC∥EG,又EG面EBD，∴PC∥面EBD  

（3）∵PB⊥面ABCD，∴AD⊥PB，

又AD⊥AB，∴AD⊥面EAB

作AH⊥BE于H，连DH，则DH⊥BE,   

在△AEB中，易求得BE=，

在△DAH中，∠

即所求二面角的大小为  

解法二：（1）如图建立空间直角坐标系，设

则A（0,3,0）,P（0,0,3）D（3,3,0）,C（，0，0），=

∵，∴，

即：3（3-）+9=0         

∴

∴

∴，即异面直线PA与CD所成的交为60°            

（2）设平面BED的法向量为  ∵

由得，∴       

又由（1）知，∴，∴PC∥面EBD  

（3）由（2）知

又平面ABE的法向量，

            故所求二面角的大小为