Question

（本小题满分16分）
已知椭圆的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上异于A，B两点的任意一点P作PH⊥轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=HP，过点B作直线轴，连结AQ并延长交直线于点M，N为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.

Answer 1

（1）.（2）直线QN与圆O相切.

(1)由b=1和离心率e,可求出a,c的值,从而可求出椭圆的标准方程.
(II)设，则，设，∵HP=PQ，∴
即，将代入得，
所以Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上.
然后求出N的坐标,再对坐标化可得=0,从而证得直线QN与圆O相切.
解：（1）因为椭圆经过点（0，1），所以，又椭圆的离心率得，
即，由得，所以，
故所求椭圆方程为.（6分）
（2）设，则，设，∵HP=PQ，∴
即，将代入得，
所以Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上.
又A（－2，0），直线AQ的方程为，令，则，
又B（2，0），N为MB的中点，∴，，
∴
，∴，∴直线QN与圆O相切.（16分）