Question

椭圆C的中心在原点O，它的短轴长为，相应的焦点的准线了l与x轴相交于A，|OF₁|=2|F₁A|.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆C的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线l，交椭圆于P、Q两点，若点M在轴上，且使MF₂为的一条角平分线，则称点M为椭圆的“左特征点”，求椭圆C的左特征点；
(3)根据(2)中的结论，猜测椭圆的“左特征点”的位置．

Answer 1

(1)  (2)  (3) 左准线与轴的交点

本试题主要是运用椭圆的几何性质得到椭圆方程，然后结合新定义得到直线与 椭圆的方程联立，结合韦达定理表示，然后得到左特征点。同时利用椭圆的准线返程的得到交点，进而猜测左特征点。
（1）由条件知，可设椭圆方程为
又
（2）)设左特征点为，左焦点为，
可设直线的方程为
联立直线与椭圆方程的得到关系式，进而得到韦达定理，利用角平分线的性质得到结论。
（3）因为椭圆的左准线与轴的交点为，
故猜测椭圆的左特征点为左准线与轴的交点。
解：（1）由条件知，可设椭圆方程为
又
椭圆方程为   …………4分
(2)设左特征点为，左焦点为，
可设直线的方程为
由与，消去得
又设，则
      ①     
        　　　②                …………6分
因为为的角平分线，所以，即
       ③
将与代入③化简，得     
   ④
再将①②代入④得       
 即左特征点为                      …………10分
（3）因为椭圆的左准线与轴的交点为，
故猜测椭圆的左特征点为左准线与轴的交点． …………12分