Question

已知x＞0，y＞0且x+y=4，要使不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用“乘1法”、基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵x＞0，y＞0且x+y=4，
∴

1

x

+

4

y

=

1

4

(x+y)(

1

x

+

4

y

)=

1

4

(1+4+

y

x

+

4x

y

)≥

1

4

(5+2

y x • 4x y

)=

9

4

，当且仅当y=2x=

8

3

时取等号．
∵不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立，
∴m≤

9

4

．
∴实数m的取值范围是(-∞，

9

4

]．
故答案为：(-∞，

9

4

]．

点评：本题考查了“乘1法”、基本不等式的性质，属于基础题．