Question

6．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}{cos^2}ωx+sin2ωx-\sqrt{3}$（ω＞0），相邻两对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）把函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，再纵坐标不变横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$后得到函数g（x）的图象，当$x∈[{-\frac{π}{2}，\;\;\frac{π}{12}}]$时，求函数y=g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换的应用将函数进行化简，结合周期公式解得ω的值，即可求f（x）的解析式．
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换求得g（x）的解析式，利用正弦函数的图象和性质即可得解单调递增区间．

解答 （本小题14分）
解：（1）$f（x）=\sqrt{3}（1+cos2ωx）+sin2ωx-\sqrt{3}$
$\begin{array}{l}=\sqrt{3}cos2ωx+sin2ωx\\=2sin（2ωx+\frac{π}{3}）\end{array}$---------------------------（4分）
因为相邻两对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，所以$\frac{2π}{2ω}•\frac{1}{2}=\frac{π}{2}，\;即ω=1$，
所以$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$．----------------------------（6分）
（2）由题意可得：$y=2sin[{2（x-\frac{π}{4}）+\frac{π}{3}}]=2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
则$g（x）=2sin（2×2x-\frac{π}{6}）=2sin（4x-\frac{π}{6}）$…（10分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤4x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
解之得：$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}≤x≤\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{6}$…（13分）
因为$x∈[{-\frac{π}{2}，\;\;\frac{π}{12}}]$，
所以y=g（x）的单调递增区间是$[{-\frac{π}{2}，\;-\frac{π}{3}}]$和$[{-\frac{π}{12}，\;\frac{π}{12}}]$．----（15分）

点评 本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，周期公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．