Question

5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x₀，2）和（x₀+2π，-2）．
（1）求函数f（x）的解析式； 
（2）求函数f（x）在区间[-3π，3π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据图象求出A，T，求出ω，图象经过（0，1），求出φ，然后求f（x）的解析式．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间是：[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，又x∈[-3π，3π]，即可得解函数f（x）在区间[-3π，3π]上的单调递增区间．

解答 解：（1）解：（1）由题意可得：A=2，$\frac{T}{2}$=2π，T=4π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{4π}$=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+φ），
∴f（0）=2sinφ=1，
由|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$．
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间是：[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，
又∵x∈[-3π，3π]，
∴解得函数f（x）在区间[-3π，3π]上的单调递增区间为：$[{-\frac{4}{3}π，\frac{2}{3}π}]和[{\frac{8}{3}π，3π}]$．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，考查计算能力，视图能力，属于基础题．