Question

求下列函数的值域：f(x)=2cos2x+3sinx+3   x∈[

π

6

，

2π

3

]．

Answer 1

分析：把函数f（x）的解析式第一项利用同角三角函数间的基本关系sin²x+cos²x=1变形为关于sinx的二次函数，由x的范围，根据正弦函数的图象与性质求出正弦函数sinx的值域，即为二次函数的定义域，最后利用二次函数的图象与性质得到函数的最大值与最小值，进而得到函数的值域．

解答：解：f（x）=2cos²x+3sinx+3
=2（1-sin²x）+3sinx+3
=-2sin²x+3sinx+5
=-2（sinx-

3

4

）²+

49

8

，
∵x∈[

π

6

，

2π

3

]，∴sinx∈[

1

2

 ， 1]，
∴当sinx=

3

4

时，f（x）最大，最大值为f（

3

4

）=

49

8

，
当sinx=

1

2

或1时，f（x）最小，最小值为f（1）=6，
则函数f（x）的值域是[6 ， 

49

8

]．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦函数的定义域与值域，以及二次函数的性质，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为关于sinx的二次函数是本题的突破点．