Question

求下列函数的值域：
（1）f(x)=2sin(x+

π

6

)，x∈[

π

6

，

7π

6

]
（2）f（x）=2cos²x+3sinx+3．

Answer 1

分析：（1）通过x的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求出函数的最值即可．
（2）换元，将函数转化为二次函数，利用配方法，即可求得函数的值域．

解答：解：（1）∵x∈[

π

6

，

7π

6

]，∴x+

π

6

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴2sin

4π

3

≤2sin(x+

π

6

)≤2sin

π

2

，
∴-

3

≤f(x)≤2．
函数f（x）的值域：[-

3

，2]．
（2）令t=sinx，（t∈[，1]），则y=2（1-t²）+3t+3=-2（t-

3

4

）²+

49

8

∵t∈[-1，1]），
∴t=

3

4

或1时，y_max=

49

8

，
当t=-1时，y_min=0，∴函数的值域为：[0，

49

8

]
函数f（x）=2cos²x+3sinx+3的值域：[0，

49

8

]．

点评：本题考查函数的值域，解题的关键是换元，将函数转化为二次函数，利用配方法求解．