Question

如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x＝4，右焦点F到它的距离为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程．

 

Answer 1

解：（1）设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

由题意可得，………………………………………………………………………2分

解得a＝2，c＝2．…………………………………………………………………………4分

从而b²＝a²－c²＝4．

所以椭圆的标准方程为＋＝1．……………………………………………………………6分

（2）设圆C的方程为(x－m)²＋(y－n)²＝r²，r＞0．

由圆C经过点F(2，0)，得(2－m)²＋n²＝r²，             ①……………………………7分

由圆C被l截得的弦长为4，得|4－m|²＋()²＝r²，       ②……………………………8分

联立①②，消去r得：n²＝16－4m．………………………………………………………10分

所以OC＝＝＝．……………………………………12分

因为由n²≥0可得m≤4，

所以当m＝2时，OC长有最小值2．……………………………………………………14分

此时n＝±2，r＝2，故所求圆C的方程为(x－2)²＋(y±2)²＝8．………………16分