Question

（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=

2

2

，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，将左焦点横坐标代入椭圆方程可得y=±

b2

a

，则

b2

a

=2①，又

c

a

=

2

2

②，a²=b²+c²③，联立①②③可求得a，b；
（Ⅱ）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），则圆Q的方程为：（x-t）²+y²=r²，联立圆与椭圆方程消掉y得x的二次方程，则△=0①，易求P点坐标，代入圆的方程得等式②，由①②消掉r得m=2t，则S△PP′Q=

1

2

|PP′|(m-t)，变为关于t的函数，利用基本不等式可求其最大值及此时t值，由对称性可得圆心Q在y轴左侧的情况；

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
左焦点F₁（-c，0），将横坐标-c代入椭圆方程，得y=±

b2

a

，
所以

b2

a

=2①，

c

a

=

2

2

②，a²=b²+c²③，联立①②③解得a=4，b=2

2

，
所以椭圆方程为：

x2

16

+

y2

8

=1；
（Ⅱ）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），
则圆Q的方程为：（x-t）²+y²=r²，
由

(x-t)2+y2=r2 x2 16 + y2 8 =1

得x²-4tx+2t²+16-2r²=0，
由△=0，即16t²-4（2t²+16-2r²）=0，得t²+r²=8，①
把x=m代入

x2

16

+

y2

8

=1，得y2=8(1-

m2

16

)=8-

m2

2

，
所以点P坐标为（m，

8- m2 2

），代入（x-t）²+y²=r²，得(m-t)2+8-

m2

2

=r2，②
由①②消掉r²得4t²-4mt+m²=0，即m=2t，
S△PP′Q=

1

2

|PP′|(m-t)=

8- m2 2

×（m-t）=

8-2t2

×t=

2(4-t2)t2

≤

2

×

(4-t2)+t2

2

=2

2

，
当且仅当4-t²=t²即t=

2

时取等号，
此时t+r=

2

+

6

＜4，椭圆上除P、P′外的点在圆Q外，
所以△PP'Q的面积S的最大值为2

2

，圆Q的标准方程为：(x-

2

)2+y2=6．
当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为(x+

2

)2+y2=6，△PP'Q的面积S的最大值仍为为2

2

．

点评：本题考查圆、椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，难度较大．