Question

如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x=4，右焦点F到它的距离为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）假设椭圆的标准方程，利用右准线l的方程为x=4，右焦点F到它的距离为2，即可确定几何量，从而可求椭圆的标准方程；
（2）计算圆的标准方程，利用圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，可确定圆心坐标之间的关系，进而可求使OC长最小时圆C的方程．

解答：解：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由题意可得

a2 c =4 a2 c -c=2

，…（2分）
解得a=2

2

，c=2．…（4分）
从而b²=a²-c²=4．
所以椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1．…（6分）
（2）设圆C的方程为（x-m）²+（y-n）²=r²，r＞0．
由圆C经过点F（2，0），得（2-m）²+n²=r²，①…（7分）
由圆C被l截得的弦长为4，得|4-m|²+（

4

2

）²=r²，②…（8分）
联立①②，消去r得：n²=16-4m．…（10分）
所以|OC|=

m2+n2

=

m2-4m+16

=

(m-2)2+12

．…（12分）
∵n²≥0，∴m≤4，
∴当m=2时，|OC|有最小值2

3

．…（14分）
此时n=±2

2

，r=2

2

，故所求圆C的方程为（x-2）²+（y±2

2

）²=8．…（16分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查圆的标准方程，考查圆中弦长问题，解题的关键是利用待定系数法，充分利用椭圆、圆的性质．