Question

（08年吉林一中理）（12分） 对于各项为正数的数列，如果<对一切都成立，那么数列叫做增比数列。

（Ⅰ）当且是增比数列时，求的取值范围；

（Ⅱ）设是增比数列，互不相等的正整数成等差数列，试判断与的大小关系，并证明你的结论。

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）由是增比数列，知，

即

展开，即，

亦即。

由于，所以上式成立当且仅当。

所以的取值范围是。

（Ⅱ）猜想，证明如下：

由，知。

不妨设，则，

因为是增比数列，所以，，

且

所以，，

又成等差数列，所以，

，从而。