Question

【题目】已知函数， ，（ 为常数）

（1）若在处的切线方程为（为常数），求的值；

（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；

（3）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，建立条件关系即可求出b的值．
（2）求函数的导数，解f（x0）=x0与f′（x0）=0，即可得到结论．
（3）求出F（x）的导数，根据函数极值和导数之间的关系，即可得到结论．

试题解析：

（1）∵ 所以直线的，

当时， ，将代入，得.

（2），由题意知消去，

得有唯一解.

令，则，

所以在区间，区间上是增函数，在上是减函数，

又，故实数的取值范围是.

（3），∴

因为存在极值，所以在上有根即方程在上有根.

记方程的两根为由韦达定理，所以方程的根必为两不等正跟.

所以满足方程判别式大于零

故所求取值范围为.