Question

【题目】已知函数，（ ）.

（Ⅰ）若有最值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，若存在、（），使得曲线在与处的切线互相平行，求证： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）证明过程见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，通分整理后得到，然后根据二次三项式对应方程根的情况分析导函数的符号，从而得到导函数的单调性，利用原函数的单调性求得使有最值的实数的取值范围；（Ⅱ）由曲线在与处的导函数相等得到，由已知得到，结合不等式可证得答案.

试题解析：（Ⅰ）∵，（ ），

∴， ．

由对应的方程的知，

①当时， ， 在上递增，无最值；

②当时， 的两根均非正，

因此， 在上递增，无最值；

③当时， 有一正根，

当时， ， 在上递减，

当时， ， 在上递增．

此时有最小值．

∴实数的范围为；

（Ⅱ）证明：依题意： ，

整理得： ，

由于， ，且，则有

，

∴

∴，

则．