Question

（本小题满分14分）已知一个数列的各项都是1或2．首项为1，且在第个1和第个1之间有个2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．记数列的前项的和为．参考：31×32=992，32×33＝1056，44×45=1980，45×46=2070
（I）试问第10个1为该数列的第几项？
（II）求和；
（III）是否存在正整数，使得？如果存在,求出的值；如果不存在,请说明理由．

Answer 1

（I）91（项）；（II） ；
（III）存在=993+29=1022，使．

试题分析：（1）根据题意将第个1与第个1前的2记为第对，那么结合已知条件得到前对共有项数为
（2）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，
故第2012项在第45对中的第32个数。
（3）由于前k对所在全部项的和为，可知结论。
解：将第个1与第个1前的2记为第对，
即为第1对，共项；
为第2对，共项；……；
为第对，共项；
故前对共有项数为．        
（I）第10个1所在的项之前共有9对，所以10个1为该数列的
9×(9+1)+1=91（项）                              …………3分
（II）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，
故第2012项在第45对中的第32个数，从而
　　又前2012项中共有45个1，其余2012－45＝1967个数均为2，
于是   ……………………7分
（III）前k对所在全部项的和为，易得，
，，
即且自第994项到第1056项均为2，而2012-1954=58能被2整除，
故存在=993+29=1022，使．     ……………………14分
点评：解决该试题的关键是先将数列分组，便于发现规律，如分为（1，2），（1，2，2，2），（1，2，2，2，2,2）…，每组的项数构成数列2，4，6，…，发现将第个1与第个1前的2记为第对，则前对共有项数为最后数列分组求和即可。