Question

4．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（3）=1，f（-2）=3，当x≠0时有x•f'（x）＞0恒成立，若非负实数a、b满足f（2a+b）≤1，f（-a-2b）≤3，则$\frac{b+2}{a+1}$的取值范围为$[{\frac{4}{5}，3}]$．

Answer 1

分析 根据x•f'（x）＞0恒成立得到函数的单调性，从而将f（2a+b）≤1化成f（2a+b）≤f（3），得到0≤2a+b≤3，同理化简f（-a-2b）≤3，得到-2≤-a-2b≤0．然后在aob坐标系内作出相应的平面区域，得到如图所示的阴影部分平面区域，利用直线的斜率公式即可求出$\frac{b+2}{a+1}$的取值范围．

解答 解：由x•f'（x）＞0恒成立可得：
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又∵a，b为非负实数，
∴f（2a+b）≤1可化为f（2a+b）≤1=f（3），可得0≤2a+b≤3，
同理可得-2≤-a-2b≤0，即0≤a+2b≤2，
作出以及a≥0和b≥0所对应的平面区域，
得到如图的阴影部分区域，
解之得A（0，1）和B（1.5，0）
而等于可行域内的点与P（-1，-2）连线的斜率，
结合图形可知：k_PB是最小值，k_PA是最大值，
由斜率公式可得：k_PA=$\frac{1+2}{0+1}$=3，k_PB=$\frac{0+2}{1.5+1}$=$\frac{4}{5}$，
故$\frac{b+2}{a+1}$的取值范围为[$\frac{4}{5}$，3]
故答案为：$[{\frac{4}{5}，3}]$

点评 本题在给出函数的导数图象基础之上，求满足不等式组的$\frac{b+2}{a+1}$的取值范围．着重考查了利用导数研究函数的单调性、直线的斜率公式和二元一元不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．