Question

已知函数，为自然对数的底数）.
(Ⅰ)当时,求的单调区间；
(Ⅱ)若函数在上无零点,求最小值；
(Ⅲ)若对任意给定的,在上总存在两个不同的),使成立,求的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ) 的单调递减区间为，单调递增区间为；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

试题分析：(Ⅰ)将代入，对求导，令和分别求出函数的单调递增区间和单调递减区间；(Ⅱ)通过分析已知先得到“对，恒成立”，下面求在上的最大值，所以，解出的最小值；(Ⅲ)先对求导，判断出上的单调性，并求出的值域，再对求导，确定单调性，画出简图，因为，得到，通过验证（2）是恒成立的，所以只需满足（3）即可，所以解出的取值范围.
试题解析：(Ⅰ)当时, ()，则.   1分
由得；由得.               3分
故的单调递减区间为，单调递增区间为.       4分
(Ⅱ)因为在区间上恒成立是不可能的,       5分
故要使函数在上无零点,只要对任意,恒成立.
即对，恒成立.       6分
令，，则，
再令，，则.
故在为减函数，于是，
从而，于是在上为增函数，
所以，            8分
故要使恒成立，只要.
综上可知，若函数在上无零点，则的最小值为.   9分
(Ⅲ)，所以在上递增，在上递减.
又，，
所以函数在上的值域为.            10分
当时，不合题意；
当时，， .
当时，，由题意知，在上不单调，
故，即            11分
此时，当变化时，，的变化情况如下：

	—	0	+
	↘	最小值	↗

又因为当时，，
，，
所以，对任意给定的，在上总存在两个不同的，
使得成立，当且仅当满足下列条件：
，       12分
令，，则，
故当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
所以，对任意的，有，
即(2)对任意恒成立，则(3)式解得 (4) .     13分
综合(1)与(4)可知，当时，对任意给定的，
在上总存在两个不同的，使得成立.      14分