Question

若函数f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x＜0使得f′（x）=-9，求实数a的最大值．

Answer 1

f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+bx+a，求导数，可得f′（x）=x²-（a+1）x+b，…（1分）
由f′（0）=0得b=0，f′（x）=x（x-a-1）．…（3分）
（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

1

3

x3-x2+1，f′（x）=x（x-2），
∴f（3）=1，f′（3）=3．…（5分）
∴函数f（x）的图象在x=3处的切线方程为y-1=3（x-3），…（6分）
即3x-y-8=0．…（7分）
（Ⅱ）∵存在，使x＜0得f′（x）=x（x-a-1）=-9，
∴-a-1=-x-

9

x

=(-x)+(-

9

x

)≥2

(-x)×(- 9 x

)=6，
∴a≤-7，…（10分）
当且仅当x=-3时，a=-7．                                       …（12分）
∴a的最大值为-7．                                           …（14分）