Question

13．已知椭圆：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），F₁，F₂为椭圆的左右焦点，M是椭圆上任一点，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的取值范围是[-4，4]，则椭圆的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1

Answer 1

分析 设M（m，n），F₁（-c，0），F₂（c，0），运用向量的数量积的坐标表示，结合椭圆上的点和原点的距离的最值，即可得到a，b的值，进而得到所求方程．

解答 解：设M（m，n），F₁（-c，0），F₂（c，0），
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-c-m，-n），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（c-m，-n），
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-c-m）（c-m）+n²=m²+n²-c²，
由m²+n²的几何意义为点（0，0）与点M的距离的平方，
即有m²+n²的最大值为a²，最小值为b²，
则$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的取值范围是[b²-c²，a²-c²]，
由题意可得b²-c²=-4，a²-c²=4，
求得b²=4，a²=12，c²=8，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查平面向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．