Question

定义在R上的函数f（x）满足：①f（0）≠0，②当x＜0时，f（x）＞1，③对任意x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y），那么不等式f（x-1）f（x²-2x）≥1的解集是（　　）

• A．[-1，2]
• B．（-∞，-1]∪[2，+∞）
• C．[

  1- 5

  2

  ，

  1+ 5

  2

  ]
• D．(-∞，

  1- 5

  2

  ]∪[

  1+ 5

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：可令x=y=0，求得f（0），再逆用条件“对任意x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y），”，结合“当x＜0时，f（x）＞1”即可求得不等式f（x-1）f（x²-2x）≥1的解集．

解答：解：∵对任意x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y），∴f（0+0）=f（0）•f（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1；
∵当x＜0时，f（x）＞1，∴x≤0时，f（x）≥1；又f（x-1）f（x²-2x）≥1，∴f（x-1+x²-2x）=f（x²-x-1）≥1，
∴x²-x-1≤0，∴

1- 5

2

≤x≤ 

1+ 5

2

；
故选C．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查学生灵活转化运用条件解决问题的能力，属于中档题．