题目内容

判断函数f(x)=(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性．

答案：
解析：

　　解 设－1＜，则

　　∵＞0，∴a＞0时，函数f(x)在(－1，1)上递减；a＜0时，函数f(x)在(－1，1)上递增．


练习册系列答案
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设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判断函数f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
（Ⅲ）设x1是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2、x3，当|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1时，|f（x3）-f（x2）|＜2．
判断函数f(x)=
2xx-1
在区间(1，+∞)上的单调性，并用定义证明．
判断函数f(x)=x+
1x
在（0，1）上的单调性，并给出证明．
如右图所示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图中的常数A可以是正数，也可以是负数或零）
（1）试判断函数f(x)=x3+
48
x
在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
（2）已知某质点的运动方程为S(t)=at-2
t+1
，要使在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质点的瞬时速度是以A=
1
2
为下界的函数，求实数a的取值范围．
（2012•长宁区二模）定义：对函数y=f（x），对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+k）=f（x0）+f（k），则称函数f（x）为“k性质函数”．
（1）判断函数f(x)=
1
x
是否为“k性质函数”？说明理由；
（2）若函数f(x)=lg
a
x2+1
为“2性质函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知函数y=2x与y=-x的图象有公共点，求证：f（x）=2x+x2为“1性质函数”．

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