题目内容

判断函数f(x)=x+
1x
在（0，1）上的单调性，并给出证明．
分析：函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：取值，作差，变形，定号下结论．
解答：解：是减函数．…（2分）
证明：设0＜x1＜x2＜1，…（4分）
则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(
1
x1
-
1
x2
)=
(x1-x2)(x1x2-1)
x1x2
，…（9分）
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x1x2-1＜0，x1-x2＜0…（12分）
∴f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在（0，1）上是减函数．…（14分）
点评：本题考查函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论．
练习册系列答案
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对于定义域为G的函数f（x），如果同时满足下列两个条件：①f（x）在G内是单调函数；②存在区间[a，b]⊆G，使f（x）在[a，b]上的值域亦为[a，b]，那么就称f（x）为好函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=
lnx
ex
+1在（0，+∞）上是否为好函数？并说明理由；
（Ⅱ）求好函数f（x）=-x3+1符合条件的一个区间[a，b]；
（Ⅲ）若函数f（x）=m+
x+2
是好函数，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y）．
（I）求f（1），f（-1）的值；
（II）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（III）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．
已知函数f（x）满足对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1成立，且当x＞0时，f（x）＞-1，f（1）=0．
（1）求f（5）的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并证明；
（3）若对于任意给定的正实数ε，总能找到一个正实数σ，使得当|x-x0|＜σ时，|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）在x=x0处连续．试证明：f（x）在x=0处连续．
已知函数f（x）=ln（2+3x）-
3
2
x2．
（1）求函数y=f（x）的极大值；
（2）令g（x）=f（x）+
3
2
x2+（m-1）x（m为实常数），试判断函数g（x）的单调性；
（3）若对任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立，求实数a的取值范围．
设函数f（x）的定义域为A，值域为B，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍然是B，那么称函数x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换．
（1）判断下列函数x=g（t）是不是函数f（x）的一个等值域变换？说明你的理由．
①f（x）=2x+1，x∈R，x=g（t）=t2-2t+3，t∈R；
②f（x）=x2-x+1，x∈R，x=g（t）=2t，t∈R；
（2）设函数f(x)=log2(x2-x+1)，g（t）=at2+2t+1，若函数x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换，求实数a的取值范围．

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