题目内容

判断函数f(x)=
2xx-1
在区间(1，+∞)上的单调性，并用定义证明．
分析：任取1＜x1＜x2，我们构造出f（x2）-f（x1）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x2）-f（x1）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．
解答：解：函数f(x)=
2x
x-1
在区间(1，+∞)是单调减函数．理由如下：
设1＜x1＜x2，f（x2）-f（x1）=
2x2
x2-1
-
2x1
x1-1
=
-2(x1+x2)
(x1-1)(x2-1)

因为1＜x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1-1＞0，x2-1＞0，
所以f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）
所以f(x)=
2x
x-1
在区间(1，+∞)是单调减函数．
点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，其中作差法（定义法）证明函数的单调性是我们中学阶段证明函数单调性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步骤．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
x2
1+x2

（1）由f(2)=
4
5
，f(
1
2
)=
1
5
，f(3)=
9
10
，f(
1
3
)=
1
10
这几个函数值，你能发现f（x）与f(
1
x
)有什么关系？并证明你的结论；
（2）求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2010
)的值；
（3）判断函数f(x)=
x2
1+x2
在区间（0，+∞）上的单调性．
已知函数f(x)=
lnx
x
-1
(1)判断函数f(x)的单调性
(2)设m＞0，求f(x)在[m，2m]上的最大值
(3)证明：?n∈N*不等式ln(
1+n
n
)e＜
1+n
n
．
若函数f（x）满足下列两个性质：
①f（x）在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在f（x）的定义域内存在某个区间使得f（x）在[a，b]上的值域是[
1
2
a，
1
2
b]．则我们称f（x）为“内含函数”．
（1）判断函数f(x)=
x
是否为“内含函数”？若是，求出a、b，若不是，说明理由；
（2）若函数f(x)=
x-1
+t是“内含函数”，求实数t的取值范围．
已知
m
=(sinwx，coswx)，
n
=(cosφ，sinφ），函数f(x)=2(Acoswx)
m
•
n
-Asinφ （其中A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为P（
1
3
，2），在原点右侧与x轴的第一个交点为Q（
5
6
，0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2判断函数f（x）在区间[
21
4
，
23
4
]上是否存在对称轴，存在求出方程；否则说明理由．
设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f'（x），且对任意正数x均有f′(x)＞
f(x)
x
，
（1）判断函数F(x)=
f(x)
x
在（0，+∞）上的单调性；
（2）设x1，x2∈（0，+∞），比较f（x1）+f（x2）与f（x1+x2）的大小，并证明你的结论；
（3）设x1，x2，…xn∈（0，+∞），若n≥2，比较f（x1）+f（x2）+…+f（xn）与f（x1+x2+…+xn）的大小，并证明你的结论．

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