Question

如图，把边长为a的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中所画的折成一个正三棱锥，则这个正三棱锥的高是（　　）

• A、

  1

  3

  3+2 3

  a
• B、

  1

  3

  3- 3

  a
• C、

  1

  3

  2+ 3

  a
• D、

  1

  3

  3+3 3

  a

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：折叠之后的正三棱锥中PA=PB=PC=a，AB=AC=BC=b，AO=

2

3

AD=

2

3

•

3

2

b=

3

3

b，这个正三棱锥的高PO=

PA2-AO2

=

a2- 1 3 b2

，由此利用余弦定理能求出结果．

解答： 解：折叠之后的正三棱锥如图，其中PA=PB=PC=a，
AB=AC=BC=b，AO=

2

3

AD=

2

3

•

3

2

b=

3

3

b，
∴PO=

PA2-AO2

=

a2- 1 3 b2

，①
∵∠PAC=30°，∴AC²=PA²+PC²-2PA•PC•cos30°，
即b2=2a2-

3

a2=(2-

3

)a2，
代入①，得PO=

1+ 3 3

a=

1

3

3+3 3

a．
故选：D．

点评：本题考查正三棱锥的高的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．