Question

20．已知实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{1≤x+y≤3}\\{-1≤x-y≤1}\end{array}\right.$，那么2x+y的取值范围是（　　）

• A． [0，6]
• B． [2，5]
• C． [2，4]
• D． [1，5]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（2，1），
代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5．
当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最小，
此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（0，1），
代入目标函数z=2x+y得z=2×0+1=1．
即目标函数z=2x+y的最小值为1．
目标函数z=2x+y的取值范围是[1，5]．
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．