Question

若△ABC的三边长a、b、c满足a²-a-2b-2c=0且a+2b-2c+3=0，则它的最大内角的度数是（　　）

A．150°

B．135°

C．120°

D．90°

Answer 1

分析：联立已知的两等式，把a看作已知数解得b，c，显然c＞b，假设c＞a，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，刚好符合题意，得到三角形最大边为c，由余弦定理表示出cosC，将表示出的c及b代入，整理后求得cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数．

解答：解：把a²-a-2b-2c=0和a+2b-2c+3=0联立可得，b=

(a-3)(a+1)

4

，c=

a2+3

4

，显然c＞b．
接下来比较c与a的大小，
由b=

(a-3)(a+1)

4

＞0，解得：a＞3或a＜-1（为负数，舍去），
假设c=

a2+3

4

＞a，解得：a＜1或a＞3，其中a＞3刚好符合，
∴c＞a，即三角形最大边为c，
∴△ABC中C为最大角，
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2ab•cosC，
将b=

(a-3)(a+1)

4

，c=

a2+3

4

代入得：(

a2+3

4

)2=a2+[

(a-3)(a+1)

4

]2-2a•

(a-3)(a+1)

4

•cosC，
解得：cosC=-

1

2

，又C为三角形的内角，
则C=120°．
故选C

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：一元二次不等式的解法，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，解题的思路为：根据已知的两等式用a表示出b与c，判断出c为最大边，C为最大角，然后利用余弦定理及特殊角的三角函数值来解决问题．