题目内容

已知向量
p
=（sinx，
3
cosx），
q
=（cosx，cosx），定义函数f（x）=
p
• 
q

（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）若△ABC的三边长a，b，c成等比数列，且c2+ac-a2=bc，求边a所对角A以及f（A）
的大小．
分析：（1）先利用两角和公式对函数解析式化简整理求得f（x）=sin（2x+
π
3
）+
3
2
．进而利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期．
（2）根据A的范围确定2x+
π
3
的范围，进而根据正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值，答案可得．
解答：解：（1）f（x）=
p
•
q
=（sinx，
3
cosx）•（cosx，cosx）=sinxcosx+
3
cos2x
=
1
2
sin2x+
3
•
1+cos2x
2
=
1
2
sin2x+
3
2
cos2x+
3
2

=sin（2x+
π
3
）+
3
2
．
∴f（x）的最小正周期为T=
2π
2
=π．
（2）∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac，
又c2+ac-a2=bc．
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
ac+c2-a2
2bc
=
bc
2bc
=
1
2
．
又∵0＜A＜π，∴A=
π
3
．
f（A）=sin（2×
π
3
+
π
3
）+
3
2
=sinπ+
3
2
=
3
2
．
点评：此题是个中档题．主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式的化简求值．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(1，1)，向量
n
与向量
m
夹角为
3
4
π，且
m
•
n
=-1．
（1）若向量
n
与向量
q
=（1，0）的夹角为
π
2
，向量
p
=(cosA，2cos2
C
2
)，其中A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求|
n
+
p
|的取值范围．
（2）若A、B、C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，A≤B≤C，设f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a2，f（A）的最大值为5-2
2
，关于x的方程sin(ax+
π
3
)=
m
2
(a＞0)在[0，
π
2
]上有相异实根，求m的取值范围．
已知向量
m
=（1，1），
q
=（1，0），＜
n
，
p
＞=
π
2
 且
m
•
n
=-1；若△ABC的内角A，B，C依次成等差数列，且A≤B≤C；
（1）若关于x的方程sin（2x+
π
3
 ）=
m
2
 在[0，B]上有相异实根，求实数m的取值范围；
（2）若向量
p
=（cosA，2cos2
C
2
），试求|
n
+
p
|的取值范围．
已知向量
m
=(1，cosωx)，
n
=(sinωx，
3
)（ω＞0），函数f(x)=
m
•
n
，且f（x）图象上一个最高点为P(
π
12
，2)，与P最近的一个最低点的坐标为(
7π
12
，-2)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设a为常数，判断方程f（x）=a在区间[0，
π
2
]上的解的个数；
（3）在锐角△ABC中，若cos(
π
3
-B)=1，求f（A）的取值范围．

已知向量p＝(－cos 2x，a)，q＝(a,2－sin 2x)，函数f(x)＝p·q－5(a∈R，a≠0)

(1)求函数f(x)(x∈R)的值域；

(2)当a＝2时，若对任意的t∈R，函数y＝f(x)，x∈(t，t＋b]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)的在[0，b]上单调递增区间．

 

 

 

 

已知向量p＝(－cos 2x，a)，q＝(a,2－sin 2x)，函数f(x)＝p·q－5(a∈R，a≠0)

(1)求函数f(x)(x∈R)的值域；

(2)当a＝2时，若对任意的t∈R，函数y＝f(x)，x∈(t，t＋b]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)的在[0，b]上单调递增区间．

 

 

 

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