Question

13．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-bx+1
（1）设集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）有零点的概率
（2）若a是从区间[1，3]任取的一个数，b是从区间[-1，4]任取的一个数，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

分析 （1）利用乘法原理可求出基本事件的总数．利用一元二次方程有实数根（函数有零点）的充要条件即可得出所包括基本事件的个数；
（2）Ω对应的平面区域为10，计算函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数对应的平面区域的面积，代入几何概型概率计算公式，可得答案．

解答 解：（1）∵集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，
分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，（a，b）共有：
（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）15种情况．
满足△=b²-4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况．
∴函数y=f（x）有零点的概率P=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$．
（2）∵a是从区间[1，3]任取的一个数，b是从区间[-1，4]任取的一个数，
∴Ω=$\left\{（a，b）\right|\left\{\begin{array}{l}1≤a≤3\\-1≤b≤4\end{array}\right.\}$，
则Ω对应的平面区域为10，
计函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数为事件A，
则A=$\left\{（a，b）\right|\left\{\begin{array}{l}1≤a≤3\\-1≤b≤\\ \frac{b}{2a}≤1\end{array}\right.\}$，
A对应的平面区域如图中阴影部分所示：

平面区域A的面积为：10-$\frac{1}{2}×2×1$=9，
故函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率P=$\frac{9}{10}$

点评 掌握乘法原理、一元二次方程有实数根（函数有零点）的充要条件、二次函数的单调性、古典概型的计算公式是解题的关键．