Question

5．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-1）；
（2）已知二次函数的图象过点（-3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2；
（3）已知二次函数的图象过点（-1，-22），（0，-8），（2，8）．

Answer 1

分析 （1）由已知设二次函数的顶点式为y=a（x-1）²+2，将点（3，-1）代入求出a值，可得答案；
（2）由已知设二次函数的交点式为y=a（x-1）（x+3），将顶点（-1，2）或（-1，-2），代入求出a值，可得答案；
（3）设二次函数的关系式为y=ax²+bx+c，根据二次函数的图象过点（-1，-22），（0，-8），（2，8），构造方程组，解得答案．

解答 解：（1）∵二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，
故顶点坐标为（1，2），
设二次函数的关系式为：y=a（x-1）²+2，
将点（3，-1）代入得：a=-$\frac{3}{4}$；
∴二次函数的关系式为：y=-$\frac{3}{4}$（x-1）²+2=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{5}{4}$；
（2）∵二次函数的图象过点（-3，0），（1，0），
设二次函数的关系式为：y=a（x-1）（x+3），
又由函数图象顶点到x轴的距离等于2；
故函数图象顶点坐标为（-1，2）或（-1，-2），
代入得：a=$±\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$或y=-$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$．
（3）设二次函数的关系式为y=ax²+bx+c，
∵二次函数的图象过点（-1，-22），（0，-8），（2，8）．
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=-22\\ c=-8\\ 4a+2b+c=8\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=12\\ c=-8\end{array}\right.$，
∴二次函数的关系式为y=-2x²+12x-8

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．