Question

已知AB、CD为异面直线,E、F分别为AC、BD的中点,过E、F作平面α∥AB.

(1)求证:CD∥α;

(2)若AB=4,EF=7,CD=2,求AB、CD所成角的大小.

Answer 1

(1)证明:如图所示,连结BC,交平面α于点O,

    ∵AB∥α,平面ABC∩α=EO,

    ∴AB∥EO.

    又∵E为AC中点,

    ∴O为BC中点.

    又BF=FD,

    ∴OF∥CD.

    ∴CD∥α.

(2)解:由题意可知,E、O、F三点不共线,否则AB∥CD.

    在△EOF中,EF=,OE=AB=2,OF=CD=1.由余弦定理,cos∠EOF

    ==-.

    因此异面直线AB、CD所成的角是60°.