Question

已知AB、CD为异面直线a、b上的线段,E、F分别为AC、BD中点,过E、F作平面α∥AB.

(1)求证:CD∥α;

(2)若AB=4,EF=,CD=2,求AB与CD所成的角的大小.

Answer 1

(1)证明:连结AD交平面α于G,连结GF,

由AB∥α,平面ADB∩α=GF,AB平面ADB,得AB∥CF.

又∵F是BD的中点,∴G为AD的中点.

而由AC与AD确定的平面ACD∩α=EG,

E为AC的中点,G为AD的中点,得EG为△ACD中位线,

∴EG∥CD.又EGα,CDα,从而得CD∥α.

(2)解析:由(1)知EGCD,GFAB,得∠EGF为异面直线AB、CD所成的角或补角,

∵AB=4,CD=2,

∴GF=2,EG=1,EF=.在△EGF中,EF²=EG²+GF²-2EG·GFcos∠EGF,得cos∠EGF=-.

∴∠EGF=120°.从而异面直线AB、CD所成的角为60°.