Question

8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的个数是①②③（写出所有正确命题的编号）．
①若sinA＞sinB＞sinC则a＞b＞c；②若ab＞c²，则C＜$\frac{π}{3}$
③若a+b＞2c，则C＜$\frac{π}{3}$；④若（a²+b²）c²≤2a²b²，则C＞$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 ①利用正弦定理，可得结论；
②利用余弦定理，将c²放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞$\frac{1}{2}$，从而证明C＜$\frac{π}{3}$；
③利用余弦定理，将c²放大，再结合均值定理即可证明cosC＞$\frac{1}{2}$，从而证明C＜$\frac{π}{3}$；
④只需举反例即可证明其为假命题，

解答 解：①若sinA＞sinB＞sinC，利用正弦定理，可得a＞b＞c，正确；
②若ab＞c²，则cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$≥1-$\frac{{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{1}{2}$，∴C＜$\frac{π}{3}$，正确；
③若a+b＞2c，则cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{3{a}^{2}+3{b}^{2}-2ab}{8ab}$≥$\frac{1}{2}$，∴C＜$\frac{π}{3}$，正确；
④取a=b=$\sqrt{2}$，c=1，满足（a²+b²）c²＜2a²b²，此时有C＜$\frac{π}{3}$，错误；
故答案为：①②③．

点评 本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，属中档题．