Question

【题目】已知数列中， ，且对任意正整数都成立，数列的前项和为．

（1）若，且，求；

（2）是否存在实数，使数列是公比为1的等比数列，且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由；

（3）若，求．（用表示）．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3) .

【解析】试题分析：

(1)由题意求得首项，公差，结合等差数列前n项和公式列方程可得 ；

(2)假设存在满足题意的实数k，分类讨论可得；

(3)结合题意分类讨论，然后分组求和可得.

试题解析：

（1）时， ，

所以数列是等差数列，

此时首项，公差，

数列的前项和是；

故，得 ；

（2）设数列是等比数列，则它的公比，所以，

①为等差中项，则，

即，解得，不合题意；

②为等差中项，则,

即，化简得： ，解得或（舍去）；

③若为等差中项，则，

即，化简得： ，解得；

；

综上可得，满足要求的实数有且仅有一个， ；

（3），则，

，

当是偶数时，

，

当是奇数时，

，

也适合上式，

综上可得， ．