Question

【题目】【2018江西莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】二次函数的图象过原点，对，恒有成立，设数列满足．

（I）求证：对，恒有成立；

（II）求函数的表达式；

（III）设数列前项和为，求的值．

【答案】（I）证明见解析；（II）；(III)2018．

【解析】试题分析：

(1)左右两侧做差，结合代数式的性质可证得，即对，恒有：成立；

(2)由已知条件可设，给定特殊值，令，从而可得：，则，，从而有恒成立，据此可知，则.

(3)结合(1)(2)的结论整理计算可得：，据此分组求和有：.

试题解析：

（1）（仅当时，取“=”）

所以恒有：成立；

（2）由已知条件可设，则中，令，

从而可得：，所以，即，

又因为恒成立，即恒成立，

当时，，不合题意舍去，

当时，即，所以，所以.

（3），

所以，

即.

【题型】解答题
【结束】
22

【题目】已知函数 为定义在上的奇函数.

（1）求函数的值域；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：

(1)由题意结合奇函数的性质可得，据此函数的解析式为： ，

(2)结合题意可得时， 仍然是奇函数，由题意可知在上单调递增，整理变形后构造函数，问题转化为在上单调递减，结合均值不等式的结论可得实数的最小值为.

试题解析：

（1）因为的定义域为R上的奇函数，所以，

即， ，

（2）当时， 仍然是奇函数，

则有： ，

求导： 恒成立， 在上单调递增，

令，则等价于：

对任意恒成立，

不妨设，则有，即，

所以，

构造函数，现只需在上单调递减，

所以，即，

因为，所以，当时，即时，取“=”，

则有，所以实数的最小值为.