Question

已知向量

m

=(

3

sin2x-1，cosx)，

n

=(1，2cosx)设函数f(x)=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调增区间和图象的对称轴方程．

Answer 1

分析：化简函数f(x)=

m

•

n

．为2sin（2x+

π

6

）
（1）利用正弦函数的有界性，直接求函数f（x）的最大值，求出最小正周期；
（2）利用正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调增区间，正弦函数的对称轴方程求函数的对称轴方程．

解答：解：f(x)=

m

•

n

=

3

sin2x-1+2cos²x=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
（1）由于函数f(x)=

m

•

n

=2sin（2x+

π

6

），所以函数的周期是：T=

2π

2

=π，函数的最大值为：2．
（2）因为2x+

π

6

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z 解得：x∈[-

π

3

+kπ ， 

π

6

+kπ]k∈Z就是函数的单调增区间．
函数图象的对称轴方程为：x=

kπ

2

+

π

6

  k ∈Z

点评：本题考查正弦函数的单调性，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的对称性，复合三角函数的单调性，考查计算能力，正弦函数的基本性质，是基础题，利用向量的数量积及其化简三角函数，是解题的基础．